อันดับเมทริกซ์: ความหมายวิธีการค้นหา

ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะพิจารณาคำจำกัดความของอันดับของเมทริกซ์ และวิธีการหาเมทริกซ์ เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างเพื่อสาธิตการประยุกต์ใช้ทฤษฎีในทางปฏิบัติ

การกำหนดอันดับของเมทริกซ์

อันดับเมทริกซ์ คืออันดับของระบบแถวหรือคอลัมน์ เมทริกซ์ใดๆ มีอันดับของแถวและคอลัมน์ซึ่งเท่ากัน

อันดับระบบแถว คือจำนวนแถวอิสระเชิงเส้นสูงสุด อันดับของระบบคอลัมน์ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

หมายเหตุ:

• อันดับของเมทริกซ์ศูนย์ (แสดงด้วยสัญลักษณ์ “θ“) ทุกขนาดเป็นศูนย์
• อันดับของเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์คอลัมน์ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เท่ากับหนึ่ง
• หากเมทริกซ์ขนาดใดก็ตามมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบที่ไม่เท่ากับศูนย์ ลำดับขององค์ประกอบนั้นจะต้องไม่น้อยกว่าหนึ่งรายการ
• อันดับของเมทริกซ์ไม่มากกว่ามิติขั้นต่ำ
• การแปลงเบื้องต้นที่ทำบนเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนอันดับ

การหาอันดับของเมทริกซ์

วิธีการย่อย Fringing

อันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับสูงสุดของที่ไม่ใช่ศูนย์

อัลกอริทึมมีดังนี้: หาผู้เยาว์จากคำสั่งต่ำสุดไปสูงสุด ถ้าผู้เยาว์ nลำดับที่ ไม่เท่ากับศูนย์ และลำดับที่ตามมาทั้งหมด (n+1) เท่ากับ 0 ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์คือ n.

ตัวอย่าง

เพื่อให้ชัดเจนขึ้น ลองมาดูตัวอย่างเชิงปฏิบัติและหาอันดับของเมทริกซ์ A ด้านล่างโดยใช้วิธีการตีกรอบผู้เยาว์

Solution

เรากำลังจัดการกับเมทริกซ์ 4 × 4 ดังนั้น อันดับของมันไม่สูงกว่า 4 นอกจากนี้ ยังมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในเมทริกซ์ ซึ่งหมายความว่าอันดับของมันไม่น้อยกว่าหนึ่ง มาเริ่มกันเลย:

1. เริ่มตรวจสอบ ผู้เยาว์ในลำดับที่สอง. ในการเริ่มต้น เราใช้สองแถวของคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง

ไมเนอร์เท่ากับศูนย์

ดังนั้นเราจึงไปยังส่วนย่อยถัดไป (คอลัมน์แรกยังคงอยู่และแทนที่จะเป็นคอลัมน์ที่สองเราใช้คอลัมน์ที่สาม)

ผู้เยาว์คือ 54≠0 ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์คืออย่างน้อยสอง

หมายเหตุ หากผู้เยาว์นี้กลายเป็นศูนย์ เราจะตรวจสอบชุดค่าผสมต่อไปนี้เพิ่มเติม:

หากจำเป็น การแจงนับสามารถดำเนินต่อไปในลักษณะเดียวกันกับสตริง:

• 1 และ 3;
• 1 และ 4;
• 2 และ 3;
• 2 และ 4;
• 3 และ 4

หากผู้เยาว์อันดับสองทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ลำดับของเมทริกซ์จะเท่ากับหนึ่ง

2. เราจัดการเกือบจะในทันทีเพื่อค้นหาผู้เยาว์ที่เหมาะกับเรา งั้นไปต่อกันที่ ผู้เยาว์ในลำดับที่สาม.

เราเพิ่มหนึ่งแถวและหนึ่งในคอลัมน์ที่ไฮไลต์ด้วยสีเขียว (เริ่มจากแถวที่สอง) ในส่วนรองที่พบของลำดับที่สองซึ่งให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์

ผู้เยาว์กลายเป็นศูนย์

ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนคอลัมน์ที่สองเป็นคอลัมน์ที่สี่ และในความพยายามครั้งที่สอง เราพยายามหาตัวรองที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอันดับของเมทริกซ์ต้องไม่น้อยกว่า 3

หมายเหตุ หากผลลัพธ์กลับกลายเป็นศูนย์อีกครั้ง แทนที่จะเป็นแถวที่สอง เราจะเอาแถวที่สี่ต่อไปและค้นหาผู้เยาว์ที่ "ดี" ต่อไป

3. ตอนนี้ยังคงต้องกำหนด ผู้เยาว์ในลำดับที่สี่ ตามสิ่งที่พบก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้ มันคือสิ่งที่ตรงกับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์

ผู้เยาว์เท่ากับ144≠0 ซึ่งหมายความว่าอันดับของเมทริกซ์ A เท่ากับ 4

การลดเมทริกซ์เป็นรูปแบบขั้นบันได

อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ ทั้งหมดที่เราต้องทำคือนำเมทริกซ์มาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสม เช่น การใช้ ซึ่งดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น จะไม่เปลี่ยนอันดับ

ตัวอย่าง

หาอันดับของเมทริกซ์ B ด้านล่าง. เราไม่ได้ยกตัวอย่างที่ซับซ้อนเกินไป เพราะเป้าหมายหลักของเราคือเพียงเพื่อสาธิตการใช้วิธีการในทางปฏิบัติ

Solution

1. ขั้นแรกให้ลบสองเท่าก่อนจากบรรทัดที่สอง

2. ตอนนี้ลบแถวแรกออกจากแถวที่สามคูณด้วยสี่

ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ขั้นตอนซึ่งจำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากับสอง ดังนั้นอันดับของมันก็เท่ากับ 2 ด้วย