ขีด จำกัด ของฟังก์ชันคืออะไร

ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะพิจารณาแนวคิดหลักประการหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ – ขีดจำกัดของฟังก์ชัน: คำจำกัดความ ตลอดจนวิธีแก้ปัญหาต่างๆ พร้อมตัวอย่างที่นำไปใช้ได้จริง

การกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นจำกัด – ค่าที่ค่าของฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มไปยังจุดจำกัด

บันทึกขีดจำกัด:

• ขีด จำกัด ถูกระบุโดยไอคอน Lim;
• ด้านล่างจะเพิ่มค่าที่อาร์กิวเมนต์ (ตัวแปร) ของฟังก์ชันมีแนวโน้ม ปกตินี่ xแต่ไม่จำเป็น เช่นx→1″;
• จากนั้นฟังก์ชันจะถูกเพิ่มทางด้านขวาเช่น:

  

ดังนั้นบันทึกสุดท้ายของขีด จำกัด จึงเป็นดังนี้ (ในกรณีของเรา):

อ่านแล้วชอบ “ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มเป็นเอกภาพ”.

x→ 1 – นี่หมายความว่า “x” รับค่านิยมที่เข้าใกล้ความสามัคคีอย่างไม่สิ้นสุด แต่จะไม่ตรงกับมัน (จะไม่ไปถึง)

ขีดจำกัดการตัดสินใจ

ด้วยหมายเลขที่กำหนด

มาแก้ขีด จำกัด ข้างต้นกันเถอะ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เพียงแค่แทนที่หน่วยในฟังก์ชัน (เพราะ x→1):

ดังนั้น ในการแก้ลิมิต อันดับแรก เราพยายามเพียงแค่แทนที่ตัวเลขที่ระบุลงในฟังก์ชันด้านล่าง (ถ้า x มีแนวโน้มเป็นจำนวนเฉพาะ)

ด้วยความไม่มีที่สิ้นสุด

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด กล่าวคือ "X" มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด (∞) ตัวอย่างเช่น:

If x→∞ จากนั้นฟังก์ชันที่กำหนดมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (-∞) เนื่องจาก:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 เป็นต้น

อีกตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

เพื่อที่จะแก้ไขขีดจำกัดนี้ ก็แค่เพิ่มค่า x และดู "พฤติกรรม" ของฟังก์ชันในกรณีนี้

• รือ x = 1, ย = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• รือ x = 10, ย = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• รือ x = 100, ย = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

ดังนั้น สำหรับ "X"มุ่งสู่อนันต์, ฟังก์ชัน x² +3x –6 เติบโตอย่างไม่มีกำหนด

ด้วยความไม่แน่นอน (x มีแนวโน้มเป็นอนันต์)

ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงลิมิต เมื่อฟังก์ชันเป็นเศษส่วน ตัวเศษและตัวส่วนที่เป็นพหุนาม โดยที่ "X" มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่าง: มาคำนวณขีดจำกัดด้านล่างกัน

Solution

นิพจน์ในตัวเศษและตัวส่วนมีแนวโน้มที่จะอนันต์ สามารถสันนิษฐานได้ว่าในกรณีนี้การแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

อย่างไรก็ตามไม่ง่ายนัก เพื่อแก้ไขขีด จำกัด เราต้องทำดังต่อไปนี้:

1 หา x กำลังสูงสุดสำหรับตัวเศษ (ในกรณีของเราคือสอง)

2. ในทำนองเดียวกัน เรากำหนด x สู่อำนาจสูงสุดสำหรับตัวส่วน (เท่ากับสองด้วย)

3. ตอนนี้เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย x ในระดับอาวุโส ในกรณีของเรา ในทั้งสองกรณี – ในครั้งที่สอง แต่ถ้าแตกต่างกัน เราควรได้รับปริญญาสูงสุด

4. ในผลลัพธ์ที่ได้ เศษส่วนทั้งหมดมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้นคำตอบคือ 1/2

ด้วยความไม่แน่นอน (x มีแนวโน้มเป็นจำนวนเฉพาะ)

อย่างไรก็ตาม ทั้งตัวเศษและตัวส่วนต่างก็เป็นพหุนาม "X" มีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนเฉพาะไม่ใช่อนันต์

ในกรณีนี้ เราปิดตาตามเงื่อนไขว่าตัวส่วนเป็นศูนย์

ตัวอย่าง: ลองหาขีดจำกัดของฟังก์ชันด้านล่าง

Solution

1. ก่อนอื่น ให้แทนที่เลข 1 ลงในฟังก์ชัน ซึ่ง "X". เราได้รับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์มที่เรากำลังพิจารณา

2. ต่อไป เราแยกตัวเศษและตัวส่วนเป็นตัวประกอบ ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้สูตรคูณแบบย่อได้ หากเหมาะสม หรือ

ในกรณีของเรา รากของนิพจน์ในตัวเศษ (2x² – 5x + 3 = 0) คือตัวเลข 1 และ 1,5 จึงสามารถแสดงได้ดังนี้ 2(x-1)(x-1,5).

ตัวส่วน (x–1) เป็นเรื่องง่ายในขั้นต้น

3. เราได้รับขีด จำกัด ที่แก้ไขแล้ว:

4. เศษส่วนสามารถลดลงได้โดย (x–1):

5. ยังคงเป็นเพียงการแทนที่หมายเลข 1 ในนิพจน์ที่ได้รับภายใต้ขีด จำกัด เท่านั้น: