ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะพิจารณาหนึ่งในทฤษฎีบทคลาสสิกของเรขาคณิต affine – ทฤษฎีบท Ceva ซึ่งได้รับชื่อดังกล่าวเพื่อเป็นเกียรติแก่ Giovanni Ceva วิศวกรชาวอิตาลี เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อรวมเนื้อหาที่นำเสนอ
คำชี้แจงของทฤษฎีบท
ให้สามเหลี่ยม เอบีซีโดยที่จุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม
ดังนั้นเราจึงได้สามส่วน (เอเอ', บีบี ' и ซีซี ') ซึ่งเรียกว่า เซเวียส.
ส่วนเหล่านี้ตัดกันที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถืออยู่:
|และ'| |ไม่'| |ซีบี'- -BC'| |กะ'| |เอบี'|
ทฤษฎีบทนี้ยังสามารถนำเสนอในรูปแบบนี้ (กำหนดอัตราส่วนที่จุดแบ่งด้าน):
ทฤษฎีบทตรีโกณมิติของ Ceva
หมายเหตุ: ทุกมุมถูกวางแนว
ตัวอย่างปัญหา
ให้สามเหลี่ยม เอบีซี มีจุด ถึง', บี ' и ค ' ด้านข้าง BC, AC и ABตามลำดับ จุดยอดของสามเหลี่ยมเชื่อมต่อกับจุดที่กำหนด และส่วนที่เป็นรูปร่างจะผ่านจุดหนึ่ง ในขณะเดียวกัน จุด ถึง' и บี ' ถ่ายที่จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามที่สอดคล้องกัน ค้นหาอัตราส่วนของจุด ค ' แบ่งข้าง AB.
Solution
มาวาดรูปตามเงื่อนไขของปัญหากัน เพื่อความสะดวกของเรา เราใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
มันยังคงเป็นเพียงการจัดทำอัตราส่วนของกลุ่มตามทฤษฎีบท Ceva และแทนที่สัญกรณ์ที่ยอมรับเข้าไป:
หลังจากลดเศษส่วนเราได้รับ:
ดังนั้น AC' = C'B, นั่นคือจุด ค ' แบ่งข้าง AB ครึ่งหนึ่ง
ดังนั้นในสามเหลี่ยมของเรา เซกเมนต์ เอเอ', บีบี ' и ซีซี ' เป็นค่ามัธยฐาน เมื่อแก้ปัญหาได้แล้ว เราพิสูจน์แล้วว่าพวกมันตัดกันที่จุดหนึ่ง (ใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมใดๆ)
หมายเหตุ โดยใช้ทฤษฎีบทของ Ceva เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมที่จุดหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งหรือส่วนสูงตัดกัน