การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน

ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะมาดูกันว่าคุณจะสามารถหารากของจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างไร และวิธีนี้จะช่วยในการแก้สมการกำลังสองซึ่งมีการจำแนกน้อยกว่าศูนย์ได้อย่างไร

การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน

รากที่สอง

อย่างที่เราทราบ เป็นไปไม่ได้ที่จะทำการรูทของจำนวนจริงลบ แต่เมื่อพูดถึงจำนวนเชิงซ้อน การกระทำนี้สามารถทำได้ ลองคิดออก

สมมุติว่าเรามีตัวเลข ซี = -9. สำหรับ √-9 มีสองราก:

z₁ = -9 = -3i

z₁ = -9 = 3i

ให้เราตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้โดยการแก้สมการ z² = -9,อย่าลืมว่า i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ ฉัน² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ฉัน² = 9 ⋅ (-1) = -9

เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า -3i и 3i เป็นราก √-9.

รากของจำนวนลบมักจะเขียนดังนี้:

√-1 = ±ฉัน

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i เป็นต้น

รูตสู่พลังของ n

สมมติว่าเราได้รับสมการของรูปแบบ ซี = ⁿ√w… มันมี n ราก (z₀, ของ₁, ของ₂,…,ซ_n-1) ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรด้านล่าง:

|w| เป็นโมดูลของจำนวนเชิงซ้อน w;

φ – ข้อโต้แย้งของเขา

k เป็นพารามิเตอร์ที่รับค่า: เค = {0, 1, 2,…, n-1}.

สมการกำลังสองที่มีรากที่ซับซ้อน

การแยกรากของจำนวนลบจะเปลี่ยนแนวคิดปกติของ uXNUMXbuXNUMXb ถ้าผู้เลือกปฏิบัติ (D) น้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง แต่สามารถแสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้

ตัวอย่าง

มาแก้สมการกัน x² – 8x + 20 = 0.

Solution

ก = 1, ข = -8, ค = 20

D = ข² – 4ac = 64 – 80 = -16

ง < 0แต่เรายังคงสามารถหยั่งรากของการเลือกปฏิบัติเชิงลบได้:

√D = -16 = ±4i

ตอนนี้เราสามารถคำนวณรากได้:

x_1,2 = (-ข ± √D)/2ก = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

ดังนั้น สมการ x² – 8x + 20 = 0 มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองรูต:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i