การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลังธรรมชาติ

ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะพิจารณาว่าจำนวนเชิงซ้อนสามารถยกกำลังได้อย่างไร (รวมถึงการใช้สูตร De Moivre) เนื้อหาทางทฤษฎีมาพร้อมกับตัวอย่างเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น

การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลัง

อันดับแรก จำไว้ว่าจำนวนเชิงซ้อนมีรูปแบบทั่วไป: z = เอ + ไบ (รูปแบบพีชคณิต).

ตอนนี้เราสามารถดำเนินการแก้ไขปัญหาได้โดยตรง

เลขสี่เหลี่ยม

เราสามารถแสดงดีกรีเป็นผลคูณของปัจจัยเดียวกัน แล้วจึงค้นหาผลิตภัณฑ์ของตน (ในขณะที่จำได้ว่า i² = -1).

z² = (เอ + ไบ)² = (a + bi) (a + bi)

1 ตัวอย่าง:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16+30i

คุณยังสามารถใช้ กล่าวคือกำลังสองของผลรวม:

z² = (เอ + ไบ)² = a² + 2 ⋅ เอ ⋅ ไบ + (บิ)² = a² + 2บี – ข²

หมายเหตุ ในทำนองเดียวกัน หากจำเป็น สามารถรับสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง ลูกบาศก์ของผลรวม / ส่วนต่าง ฯลฯ ได้

ระดับ ม

เพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z ในประเภท n ง่ายกว่ามากถ้าแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำไว้ว่า โดยทั่วไปแล้ว สัญกรณ์ของตัวเลขจะมีลักษณะดังนี้: z = |z| ⋅ (cos φ + ผม ⋅ บาป φ).

สำหรับการยกกำลัง คุณสามารถใช้ สูตรของ De Moivre (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Abraham de Moivre):

zⁿ - z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + ผม ⋅ บาป(nφ))

สูตรได้มาจากการเขียนในรูปแบบตรีโกณมิติ (โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์)

2 ตัวอย่าง

เพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ บาป 35°) ถึงระดับแปด

Solution

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + ผม ⋅ บาป(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280 ° + ฉันบาป 280 °).