การหาเมทริกซ์ผกผัน

ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะพิจารณาว่าเมทริกซ์ผกผันคืออะไร และด้วยตัวอย่างเชิงปฏิบัติ เราจะวิเคราะห์ว่าสามารถหามันได้อย่างไรโดยใช้สูตรพิเศษและอัลกอริธึมสำหรับการดำเนินการตามลำดับ

ความหมายของเมทริกซ์ผกผัน

อันดับแรก ให้จำไว้ว่าส่วนกลับคืออะไรในวิชาคณิตศาสตร์ สมมุติว่าเรามีเลข 7 แล้วอินเวอร์สของมันจะเป็น 7^-1 or ¹/₇. หากคุณคูณตัวเลขเหล่านี้ ผลลัพธ์จะเป็นหนึ่ง เช่น 7 7^-1 = 1

เกือบจะเหมือนกันกับเมทริกซ์ ย้อนกลับ เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าการคูณซึ่งโดยเดิมเราจะได้เอกลักษณ์หนึ่ง เธอถูกระบุว่าเป็น A^-1.

เอ · เอ^-1 =E

อัลกอริทึมสำหรับการหาเมทริกซ์ผกผัน

ในการหาเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องสามารถคำนวณเมทริกซ์ได้ รวมทั้งมีทักษะในการดำเนินการบางอย่างกับเมทริกซ์ด้วย

ควรสังเกตทันทีว่าสามารถหาอินเวอร์สได้สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเท่านั้น และทำได้โดยใช้สูตรด้านล่าง:

|A| – ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์

A^T_M คือเมทริกซ์ทรานสโพสของการบวกพีชคณิต

หมายเหตุ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ ก็ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่าง

มาหาเมทริกซ์กัน A ด้านล่างเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม

Solution

1. อันดับแรก ให้หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ให้มา

2. ตอนนี้ มาสร้างเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากับขนาดเดิมกัน:

เราต้องหาว่าตัวเลขใดควรแทนที่เครื่องหมายดอกจัน เริ่มจากองค์ประกอบด้านซ้ายบนของเมทริกซ์ พบผู้เยาว์โดยการขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มันตั้งอยู่ กล่าวคือ ในทั้งสองกรณีอยู่ที่หมายเลขหนึ่ง

จำนวนที่ยังคงอยู่หลังจากการขีดฆ่าคือจำนวนรองที่จำเป็น เช่น M₁₁ = 8.

ในทำนองเดียวกัน เราพบผู้เยาว์สำหรับองค์ประกอบที่เหลือของเมทริกซ์และได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

3. เรากำหนดเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต วิธีการคำนวณสำหรับแต่ละองค์ประกอบเราพิจารณาแยกกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับองค์ประกอบ a₁₁ การบวกพีชคณิตถือเป็นดังนี้:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. ดำเนินการย้ายของเมทริกซ์ผลลัพธ์ของการบวกพีชคณิต (เช่น สลับคอลัมน์และแถว)

5. ยังคงเป็นเพียงการใช้สูตรด้านบนเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

เราสามารถทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ โดยไม่ต้องหารองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยเลข 11 เนื่องจากในกรณีนี้เราจะได้ตัวเลขเศษส่วนที่น่าเกลียด

เช็คผล

เพื่อให้แน่ใจว่าเราได้อินเวอร์สของเมทริกซ์ดั้งเดิม เราสามารถหาผลคูณของมันได้ ซึ่งควรเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์

เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งหมายความว่าเราทำทุกอย่างถูกต้อง