วิธีเกาส์สำหรับสารละลาย SLAE

ในเอกสารนี้ เราจะพิจารณาว่าวิธีเกาส์เซียนคืออะไร เหตุใดจึงจำเป็น และหลักการของวิธีนี้คืออะไร เราจะสาธิตการใช้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติว่าวิธีการนี้สามารถประยุกต์ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร

คำอธิบายของวิธีเกาส์

วิธีเกาส์ เป็นวิธีคลาสสิกของการกำจัดตัวแปรตามลำดับที่ใช้ในการแก้ ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Carl Friedrich Gauss (1777-1885)

แต่ก่อนอื่น ให้เราจำไว้ว่า SLAU สามารถ:

• มีทางออกเดียว
• มีวิธีแก้ปัญหามากมาย
• เข้ากันไม่ได้คือไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ประโยชน์ในทางปฏิบัติ

วิธีเกาส์เป็นวิธีที่ยอดเยี่ยมในการแก้ SLAE ที่มีสมการเชิงเส้นมากกว่าสามสมการ และระบบที่ไม่ยกกำลังสอง

หลักการของวิธีเกาส์

วิธีการรวมถึงขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ตรง – เมทริกซ์เสริมที่สอดคล้องกับระบบสมการจะลดลงโดยทางเหนือแถวไปยังรูปแบบสามเหลี่ยมบน (ขั้นบันได) เช่นภายใต้เส้นทแยงมุมหลักควรมีองค์ประกอบเท่ากับศูนย์เท่านั้น
2. กลับ – ในเมทริกซ์ผลลัพธ์ องค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ด้วย (มุมมองสามเหลี่ยมล่าง)

ตัวอย่างโซลูชัน SLAE

มาแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้านล่างโดยใช้วิธีเกาส์กัน

Solution

1. ในการเริ่มต้น เรานำเสนอ SLAE ในรูปแบบของเมทริกซ์แบบขยาย

2. ตอนนี้งานของเราคือรีเซ็ตองค์ประกอบทั้งหมดภายใต้เส้นทแยงมุมหลัก การดำเนินการเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับเมทริกซ์เฉพาะ ด้านล่างเราจะอธิบายการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับกรณีของเรา อันดับแรก เราสลับแถว ดังนั้นการวางองค์ประกอบแรกในลำดับจากน้อยไปมาก

3. ลบออกจากแถวที่สองสองครั้งในครั้งแรก และจากแถวที่สาม – สามครั้งแรก

4. เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม

5. ลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรก และในขณะเดียวกันก็หารบรรทัดที่สามด้วย -10

6. ขั้นตอนแรกเสร็จสมบูรณ์ ตอนนี้เราต้องได้องค์ประกอบว่างเหนือเส้นทแยงมุมหลัก ในการทำเช่นนี้ ให้ลบแถวที่สามคูณด้วย 7 จากแถวแรก แล้วบวกแถวที่สามคูณด้วย 5 ลงในแถวที่สอง

7. เมทริกซ์ขยายสุดท้ายมีลักษณะดังนี้:

8. มันสอดคล้องกับระบบสมการ:

คำตอบ: รูต SLAU: x = 2, y = 3, z = 1