คุณสมบัติความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในเอกสารนี้ เราจะพิจารณาคุณสมบัติหลักของความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และวิเคราะห์ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้ด้วย

หมายเหตุ สามเหลี่ยมเรียกว่า เป็นมุมฉากถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง (เท่ากับ 90°) และอีกสองมุมเป็นมุมแหลม (<90°)

คุณสมบัติความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสมบัติ 1

สามเหลี่ยมมุมฉากมีความสูงสองระดับ (h₁ и h₂) ตรงกับขาของมัน

ความสูงที่สาม (h₃) ลงมาที่ด้านตรงข้ามมุมฉากจากมุมฉาก

คุณสมบัติ 2

ออร์โธเซ็นเตอร์ (จุดตัดของความสูง) ของสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ที่จุดยอดของมุมฉาก

คุณสมบัติ 3

ความสูงในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันสองรูป ซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยมเดิมด้วย

1. △ABD ~ เอบีซี สองมุมเท่ากัน: ∠ADB = LAC (เส้นตรง), ∠ABD = เอบีซี

2. △ADC ~ เอบีซี สองมุมเท่ากัน: ∠ADC = LAC (เส้นตรง), ∠ศอ.บต = เอซีบี.

3. △ABD ~ ADC สองมุมเท่ากัน: ∠ABD = DAC, BAD = ศอ.บต.

พิสูจน์: ∠BAD = 90° – ∠เอบีดี (เอบีซี). ในขณะเดียวกัน ∠เอซีดี (เอซีบี) = 90° – ∠เอบีซี.

ดังนั้น ∠BAD = ศอ.บต.

ก็พิสูจน์ได้เช่นเดียวกันว่า ∠ABD = DAC.

คุณสมบัติ 4

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคำนวณได้ดังนี้:

1. ผ่านส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากเกิดขึ้นจากการหารด้วยฐานของความสูง:

2. ตามความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม:

สูตรนี้มาจาก สมบัติของไซน์ของมุมแหลม ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ไซน์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก):

หมายเหตุ สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะใช้คุณสมบัติความสูงทั่วไปที่แสดงในเอกสารเผยแพร่ของเราด้วย

ตัวอย่างปัญหา

งาน 1

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากหารด้วยความสูงที่ลากออกเป็นส่วนที่ 5 และ 13 ซม. จงหาความยาวของความสูงนี้

Solution

ลองใช้สูตรแรกที่นำเสนอใน คุณสมบัติ 4:

งาน 2

ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 9 และ 12 ซม. หาความยาวของความสูงที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

Solution

อันดับแรก ให้หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ให้ขาของสามเหลี่ยมเป็น "ถึง" и "B"และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ “เทียบกับ”):

c² = A² + b² = 9² + 12² = 225

ดังนั้น с = 15 ซม.

ตอนนี้เราสามารถใช้สูตรที่สองจาก คุณสมบัติ4กล่าวถึงข้างต้น: