ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์

ในเอกสารนี้ เราจะพิจารณาหนึ่งในทฤษฎีบทหลักในทฤษฎีจำนวนเต็ม –  ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อรวมเนื้อหาที่นำเสนอ

คำชี้แจงของทฤษฎีบท

1. เริ่มต้น

If p เป็นจำนวนเฉพาะ a เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย .ไม่ได้ pแล้วก็ a^P-1 - 1 โดยแบ่งออกเป็น p.

มันถูกเขียนอย่างเป็นทางการเช่นนี้: a^P-1 ≡ 1 (ต่อต้าน p).

หมายเหตุ จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติที่หารด้วย XNUMX ลงตัวและไม่มีเศษเหลือ

ตัวอย่างเช่น:

• a = 2
• p = 5
• a^P-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• จำนวน 15 โดยแบ่งออกเป็น 5 โดยไม่มีเศษเหลือ

2. ทางเลือกอื่น

If p เป็นจำนวนเฉพาะ a จำนวนเต็มใดๆ แล้ว a^p เปรียบได้กับ a โมดูล p.

a^p ≡ ก (ต่อต้าน p)

ประวัติการหาหลักฐาน

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ เป็นผู้คิดค้นทฤษฎีบทในปี ค.ศ. 1640 แต่ไม่ได้พิสูจน์ด้วยตัวเอง ต่อมาสิ่งนี้ทำโดย Gottfried Wilhelm Leibniz นักปรัชญาชาวเยอรมัน นักตรรกวิทยา นักคณิตศาสตร์ ฯลฯ เชื่อกันว่าเขามีหลักฐานอยู่แล้วในปี 1683 แม้ว่าจะไม่มีการเผยแพร่ก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่า Leibniz ค้นพบทฤษฎีบทนี้เองโดยไม่รู้ว่ามันถูกกำหนดไว้แล้วก่อนหน้านี้

การพิสูจน์ทฤษฎีบทครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1736 และเป็นของชาวสวิส เยอรมัน และนักคณิตศาสตร์และช่างเครื่อง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของออยเลอร์

ตัวอย่างปัญหา

หาจำนวนที่เหลือ 2¹² on 12.

Solution

มาลองนึกเลขกัน 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น โดยทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ เราได้:

2¹¹ ≡ 2 (ต่อต้าน 11).

ดังนั้น 2⋅2¹¹ ≡ 4 (ต่อต้าน 11).

ดังนั้นจำนวน 2¹² โดยแบ่งออกเป็น 12 โดยเหลือเศษเท่ากับ 4.