ผลคูณของเวกเตอร์

ในเอกสารนี้ เราจะพิจารณาวิธีหาผลคูณของเวกเตอร์สองตัว ให้การตีความทางเรขาคณิต สูตรพีชคณิต และคุณสมบัติของการกระทำนี้ และวิเคราะห์ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วย

การตีความทางเรขาคณิต

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a и b เป็นเวกเตอร์ cซึ่งแสดงเป็น [a, b] or a x b.

ความยาวเวกเตอร์ c เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างโดยใช้เวกเตอร์ a и b.

ในกรณีนี้, c ตั้งฉากกับระนาบที่พวกเขาอยู่ a и bและตั้งอยู่เพื่อให้หมุนเวียนน้อยที่สุดจาก a к b ถูกทวนเข็มนาฬิกา (จากมุมมองของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

สูตรข้ามผลิตภัณฑ์

ผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ a = {ก_x; ถึง_y,_z} ฉัน b = {ข_x; ข_yb_z} คำนวณโดยใช้หนึ่งในสูตรด้านล่าง:

คุณสมบัติข้ามผลิตภัณฑ์

1. ผลคูณของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้เป็น collinear

[a, b] = 0ถ้า a || b.

2. โมดูลของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้

S_ขนาน -a x b|

3. พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์สองตัวเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเวกเตอร์

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. เวกเตอร์ที่เป็นผลคูณของเวกเตอร์อีกสองตัวตั้งฉากกับพวกมัน

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (ม a) x a = a x (ม b) = ม.a x b)

หนึ่ง. (a + b) x c = a x c + b x c

ตัวอย่างปัญหา

คำนวณผลคูณ a = (2; 4; 5} и b = {9; -สอง; 3}.

การตัดสินใจ:

คำตอบ: a x b = {19; 43; -42}