ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ในเอกสารเผยแพร่นี้ เราจะพิจารณาคำจำกัดความของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ลักษณะที่ปรากฏ มีประเภทใดบ้าง และวิธีนำเสนอในรูปแบบเมทริกซ์ ซึ่งรวมถึงส่วนขยายเพิ่มเติมด้วย

นิยามของระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (หรือ “SLAU” สั้นๆ) เป็นระบบที่โดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

• m คือจำนวนสมการ
• n คือจำนวนตัวแปร
• x₁, x₂,…,x_n - ไม่ทราบ;
• a₁₁,₁₂…, แ_mn – ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ;
• b₁b₂,…, ข_m - สมาชิกฟรี

ดัชนีสัมประสิทธิ์ (a_ij) มีรูปแบบดังนี้:

• i คือจำนวนสมการเชิงเส้น
• j คือจำนวนตัวแปรที่สัมประสิทธิ์อ้างอิง

โซลูชั่น SLAU – ตัวเลขดังกล่าว c₁, C₂,…, ค_n , ในการตั้งค่าซึ่งแทน x₁, x₂,…,x_n, สมการทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นตัวตน

ประเภทของ SLAU

1. เหมือนกัน – สมาชิกอิสระทั้งหมดของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ (b₁ = ข₂ = … = ข_m = 0).

   

2. ต่างกัน – หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น
3. สี่เหลี่ยมด้านเท่า – จำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบค่า เช่น ม. = น.

   

4. ไม่ชัดเจน – จำนวนไม่ทราบค่ามากกว่าจำนวนสมการ

   

5. แทนที่ มีสมการมากกว่าตัวแปร

   

ขึ้นอยู่กับจำนวนของโซลูชัน SLAE สามารถ:

1. ร่วมกัน มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี ยิ่งกว่านั้นหากเป็นเอกลักษณ์ระบบจะเรียกว่าแน่นอนหากมีการแก้ต่าง ๆ เรียกว่าไม่แน่นอน

   

   SLAE ข้างต้นเป็นการร่วม เพราะมีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ไข: x = 2, ย = 3.

2. เข้ากันไม่ได้ ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

   

   ด้านขวาของสมการเหมือนกัน แต่ด้านซ้ายไม่เหมือนกัน ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สัญกรณ์เมทริกซ์ของระบบ

SLAE สามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์:

ขวาน = B

• A คือเมทริกซ์ที่เกิดจากสัมประสิทธิ์ของนิรนาม:

  

• X – คอลัมน์ของตัวแปร:

  

• B – คอลัมน์สมาชิกฟรี:

  

ตัวอย่าง

เราแสดงระบบสมการด้านล่างในรูปแบบเมทริกซ์:

จากรูปแบบข้างต้น เราสร้างเมทริกซ์หลักด้วยสัมประสิทธิ์ คอลัมน์ที่ไม่ทราบสมาชิกและสมาชิกอิสระ

บันทึกที่สมบูรณ์ของระบบสมการที่กำหนดในรูปแบบเมทริกซ์:

เมทริกซ์ SLAE แบบขยาย

หากเป็นเมทริกซ์ของระบบ A เพิ่มคอลัมน์สมาชิกฟรีทางด้านขวา Bเมื่อแยกข้อมูลด้วยแถบแนวตั้ง คุณจะได้เมทริกซ์ขยายของ SLAE

สำหรับตัวอย่างข้างต้น จะมีลักษณะดังนี้:

– การกำหนดเมทริกซ์แบบขยาย